التكامل الغاوِسي: النظرية والمثال

لتكنكثيرة حدود متعامدة من الدرجةبالنسبة لدالة الوزنعلى الفترة.

✦الصيغة العامة لطريقة غاوس

✵

◉

توضيح تقريب المساحة باستخدام طريقة غاوس

◉

✵

حيث:

• : الجذرلكثيرة الحدود المتعامدةحسب نوع التكامل
• : الوزن الموافق لـ، ويُحسب كالتالي:

  

  حيثهي كثيرة حدود لاجرانج الأساسية.

✦تعبيرات الأوزان

بدلاً من ذلك، لأنواع محددة من طريقة غاوس لدينا تعبيرات مغلقة للأوزان:

• غاوس-ليجاندر: (الفترة، الوزن)

  

  حيثهو جذر لكثيرة حدود ليجاندر
• غاوس-هيرميت: (الفترة، الوزن)

  

  حيثهو جذر لكثيرة حدود هيرميت
• غاوس-لاجوير: (الفترة، الوزن)

  

  حيثهو جذر لكثيرة حدود لاجوير
• غاوس-تشيبيشيف (النوع الأول): (الفترة، الوزن)

  

  حيث

  
• غاوس-تشيبيشيف (النوع الثاني): (الفترة، الوزن)

  

  حيث

  

✦تغيير الفترة

◆غاوس-ليجاندر (الفترة [أ،ب]):

لتطبيق تكامل غاوس-ليجاندر على الفترة، نغير المتغيرات لتعيينها على:

◆غاوس-هيرميت (الفترة (-∞,∞)):

تكامل غاوس-هيرميت مصمم لتكاملات من الشكل:

إذا أردت حساب، اكتب:

وطبق تكامل غاوس-هيرميت على.

◆غاوس-لاجوير (الفترة (0,∞]):

تكامل غاوس-لاجوير هو لتكاملات من الشكل:

إذا أردت حساب، اكتب:

وطبق تكامل غاوس-لاجوير على.

◆غاوس-تشيبيشيف (النوع الأول، الفترة [أ،ب]):

غاوس-تشيبيشيف من النوع الأول مصمم لتكاملات من الشكل

مع العقدوالأوزان.

لتطبيقه على [أ،ب]، ضع

إذاً

طبق قاعدة تشيبيشيف-الأولى على تكامل.

◆غاوس-تشيبيشيف (النوع الثاني، الفترة [أ،ب]):

غاوس-تشيبيشيف من النوع الثاني مصمم لتكاملات من الشكل

مع العقدوالأوزان.

على [أ،ب]، استخدم نفس تغيير المتغيرات:

إذاً

طبق قاعدة تشيبيشيف-الثانية على تكامل.

◆جدول ملخص:

◉

◉

◉

◉

۞

۞

◉

◉

التكامل العددي	شكل التكامل (بعد التغيير)
غاوس-ليجاندر
غاوس-هيرميت
غاوس-لاجوير
غاوس-تشيبيشيف الأولى
غاوس-تشيبيشيف الثانية

احسب:

نعلم أن القيمة الصحيحة هي:

استخدم تكامل غاوس ذو نقطتين (غاوس-ليجاندر) مع: كثيرات حدود ليجاندر:

الوزنلتكامل غاوس-ليجاندر يُحسب كالتالي:

إذاً:

وهي تطابق تماماً القيمة الصحيحة.

طريقة غاوس تحقق نتائج دقيقة لكثيرات الحدود حتى الدرجةباستخدامنقط فقط ذات مواضع مثلى. وهي أكثر كفاءة ودقة بكثير من طرق نيوتن-كوتس، خاصة للدوال السلسة وعندما تكون الدقة العالية مطلوبة.

يمكن تعميم طريقة غاوس طبيعياً لأبعاد أعلى لتقييم التكاملات المحددة متعددة المتغيرات على مجالات مستطيلة الشكل.

✦الصيغة العامة

لدالة، يُقدّر التكامل على مكعببـ:

حيث:

• : عقدة غاوس-ليجاندر في البعد
• : الوزن الموافق
• إجمالي التقييمات:

✦التكامل العددي ثنائي الأبعاد

للْدالةعلى:

✦التكامل العددي ثلاثي الأبعاد

✦الصيغة الضربية

يمكن كتابة ذلك بشكل مضغوط:

بدلاً من ذلك، في الرمز المضغوط، يمكن كتابة التكامل العددي متعدد المتغيرات على النحو التالي:

يعبر هذا عن فكرة أن التكامل متعدد الأبعاد يُحسب بتطبيق التكامل العددي أحادي البعد في كل اتجاه إحداثي بشكل مستقل.

✦تغيير المتغيرات للمجال التعسفي

للتكامل على صندوق، استخدم:

إذاً:

✦مثال: تكامل غاوس ثنائي الأبعاد مع ن = 2

✵

✵

◈مثال

◈

قيّم:

القيمة الصحيحة هي:

استخدم غاوس-ليجاندر ذو نقطتين في كل بُعد:

وهي تطابق تماماً النتيجة التحليلية.

✦ملخص

• طريقة غاوس توفر نتائج دقيقة لكثيرات الحدود حتى الدرجة.
• تعمّم طبيعياً لأبعاد متعددة باستخدام الجداءات الضربية.
• تغيير المتغيرات يسمح بالتطبيق على أي مجال مستطيل.
• التكامل العددي بطريقة غاوس متعدد المتغيرات فعال بشكل خاص للدوال السلسة في الأبعاد المنخفضة إلى المتوسطة.

في العديد من المشاكل العملية، مجال التكامل ليس مستطيلاً أو مكعبياً، بل مثلثياً أو دائرياً أو غير منتظم. لتطبيق طريقة غاوس في هذه المجالات، نستخدم تغيير المتغيرات (تحويل الإحداثيات) لتعيين المجال غير المنتظم إلى مجال مرجعي (مثل مربع أو مثلث).

✦فكرة تعيين الإحداثيات

✵◆

۞

◆✵

❮

◆

﴿

تعيين الإحداثيات أحادي البعد

﴾

✵

✵

تعيين الإحداثيات أحادي البعدتعيين الإحداثيات ثنائي الأبعادتعيين الإحداثيات ثلاثي الأبعاد

←اسحب للتنقل→

❯

◉◆

۞

◆◉

ليكنمجال مادي و(جيم قُبّعة) مجال مرجعي. نعرّف التعيين:

إذاً:

حيثهو المصفوفة اليعقوبية للتحويل:

✦مثال: مجال مثلث

لتكن المثلثمحدّد بالرؤوس:

استخدم التحويل المتوازي من المثلث المرجعيبالإحداثياتحيث:

إذاً، التكامل:

بما أن محدد المصفوفة اليعقوبية هو، ومساحة المثلث هي، يمكننا تطبيق طريقة غاوس على.

✦مثال عملي

احسب:

باستخدام تكامل ذو نقطة واحدة على المجال المثلثي المرجعي (مركز الكتلة):

إذاً:

✵◆

۞

◆✵

❮

◆

﴿

تعيين متساوي المحدد أحادي البعد

﴾

✵

✵

تعيين متساوي المحدد أحادي البعدتعيين متساوي المحدد ثنائي الأبعادتعيين متساوي المحدد ثلاثي الأبعاد

←اسحب للتنقل→

❯

◉◆

۞

◆◉

في الأشكال الهندسية الأكثر تعقيداً، خاصة في طرق العناصر المحدودة، قد يكون للعناصر أضلاع منحنية أو أشكال غير منتظمة. لأداء التكامل بدقة على هذه العناصر، نستخدم التعيين متساوي المحدد.

✦التعريف

في التعيين متساوي المحدد:

• نفس دوال الشكل المستخدمة لاستيفاء الهندسة تُستخدم أيضاً لاستيفاء حقل الحل.
• هذا يمكّن من التقريب المتسق لكل من الهندسة والمتغيرات.

الصيغة العامة:

حيث:

• هي دوال الشكل (خطية، تربيعية، إلخ.)
• هي إحداثيات العقد في الفضاء المادي

✦التكامل مع التعيين متساوي المحدد

المصفوفة اليعقوبيةتصبح متغيرة (غير ثابت) ويجب تقييمه في كل نقطة تكامل:

يُحسب هذا رقمياً باستخدام طريقة غاوس على المجال المرجعي، مع الإحداثيات المحوّلة ومصفوفة يعقوبية في كل عقدة تكامل.

✦لماذا التعيين متساوي المحدد مهم

• يتعامل مع الأشكال الهندسية المنحنية دون تقريبها بعناصر ذات حواف مستقيمة
• يضمن الولاء الهندسي واستيفاء متسق
• شائع في العناصر المحدودة للمجالات ذات الحدود التي تكون دوائر أو أقواس أو منحنيات عامة

✦ملخص

التعيينات الإحداثية ومتساوية المحدد تسمح لطريقة غاوس (المصممة أصلاً لـ) أن تُستخدم على:

• مجالات تعسفية (مثلثات، دوائر)
• عناصر محدودة منحنية
• مناطق شبكية غير منتظمة