۞
✵
۞
◉✵◉
→السابق
✦
متعدد المُتغيرات
۩
◉✵◉
التالي←
✦
التكامل الغاوسي
۩
◉
۩

التكامل العددي بطريقة جاوس: النظرية والمثال

فضاءات كثيرات الحدود والتعامد

تحدّيات التكامل بالاستفاء باستخدام صيغ إسحاق

ظاهرة تذبذب الأطراف

عند استخدام كثيرات حدود الاستفاء من الدرجة العالية (مثل صيغ إسحاق ذات عدد نقاط كبير) على فترات واسعة، تظهر تذبذبات كبيرة عند أطراف الفترة، وتزداد الأخطاء بشكل ملحوظ. هذه الظاهرة تُسمى ظاهرة التذبذب، وتحدث لأن كثيرات الحدود العالية تجد صعوبة في تقريب الدوال بسلاسة على كامل الفترة، خاصة عند الأطراف.

سبب الظاهرة

السبب الرئيسي هو أن نقاط الاستفاء تكون موزعة بشكل منتظم (متساوية البعد) في صيغ إسحاق، مما يؤدي إلى تذبذبات شديدة في كثير الحدود المستوفي عند الأطراف، حتى لو كانت الدالة الأصلية سلسة.

محدوديات صيغ إسحاق

  • الدقة تتدهور بسرعة عند زيادة عدد النقاط على فترات واسعة.
  • تظهر تذبذبات غير مرغوبة (ظاهرة التذبذب) عند الأطراف.
  • الأخطاء تتراكم مع زيادة الدرجة، ولا يمكن تحسين الدقة ببساطة بزيادة النقاط.
  • غير مناسبة للدوال غير المنتظمة أو ذات تغيرات حادة.

لهذا السبب، تُستخدم طرق أخرى مثل التكامل الغاوسي التي تعتمد على كثيرات حدود متعامدة ونقاط غير منتظمة لتفادي هذه المشاكل.

عند دراسة التكامل العددي، نحتاج إلى تقريب التكاملات بدوال أبسط. كثيرات الحدود تلعب دورًا مركزيًا لأنها سهلة الحساب ويمكن تمثيل الدوال بها. لكن ليس كل كثيرات الحدود متساوية في الفعالية: إذا اخترناها بشكل عشوائي أو متساوي البعد (كما في صيغ إسحاق)، تظهر مشاكل مثل ظاهرة التذبذب. هنا تظهر أهمية فضاء كثيرات الحدود والتعامدية: إذا اخترنا أساسًا من كثيرات حدود متعامدة، نحصل على تمثيل أفضل للدوال وتقنيات تكامل أكثر دقة (مثل التكامل الغاوسي)، لأن التعامدية تقلل التداخل بين الحدود وتسمح بتوزيع النقاط بشكل أمثل.

فضاءات كثيرات الحدود والتعامد

كثيرة الحدود من الدرجةنهي أي دالة من الشكل:

كثيرة الحدود العامة

ومجموعة جميع كثيرات الحدود حتى الدرجةنتشكل فضاءً متجهياً نرمز له بـفضاء كثيرات الحدود.

جداء داخلي والتعامد

لتعريف التعامد فيفضاء كثيرات الحدود، نُعرّف الجداء الداخلي:

تعريف الجداء الداخلي

حيثدالة الوزندالة وزن غير سالبة على الفترةالفترة. كثيرتا الحدودكثيرة الحدود نوكثيرة الحدود ممتعامدتان إذا تحقق:

شرط التعامد

أمثلة على عائلات كثيرات حدود متعامدة

  • ليجاندر: متعامدة علىالفترة [-1,1]معw(x) = 1.
  • لاجوير: متعامدة علىالفترة (0,∞]مع
    w(x) = e^(-x)
    .
  • هيرميت: متعامدة علىالفترة (-∞,∞)معw(x) = e^(-x²).
  • تشيبيشيف من النوع الأول: متعامدة علىالفترة [-1,1]معw(x) = 1/√(1-x²).
  • تشيبيشيف من النوع الثاني: متعامدة علىالفترة [-1,1]معw(x) = √(1-x²).

كثيرات حدود ليجاندر

  • دالة الوزن:w(x) = 1
  • الفترة:[-1,1]
  • علاقة التكرار:
    علاقة التكرار لليجاندر
  • القيم الابتدائية:
    القيم الابتدائية لليجاندر

كثيرات حدود لاجوير

  • دالة الوزن:
    w(x) = e^(-x)
  • الفترة:(0,∞]
  • علاقة التكرار:
    علاقة التكرار للاجوير
  • القيم الابتدائية:
    القيم الابتدائية للاجوير

كثيرات حدود هيرميت

  • دالة الوزن:w(x) = e^(-x²)
  • الفترة:(-∞,∞)
  • علاقة التكرار:
    علاقة التكرار لهيرميت
  • القيم الابتدائية:
    القيم الابتدائية لهيرميت

كثيرات حدود تشيبيشيف من النوع الأول

  • دالة الوزن:
    w(x) = 1/√(1-x²)
  • الفترة:[-1,1]
  • علاقة التكرار:
    علاقة التكرار لتشيبيشيف
  • التعريف المثلثي:
    التعريف المثلثي لتشيبيشيف
  • الصيغة الصريحة:
    الصيغة الصريحة لتشيبيشيف
  • القيم الابتدائية:
    القيم الابتدائية لتشيبيشيف الأول
ملاحظة
هذا المجموع متسلسلة منتهية لكثيرات حدود تشيبيشيف من النوع الأول، حيث يبدأ المجموع منk = 0حتى القيمة الصحيحة الأكبر⌊n/2⌋(أي أكبر عدد صحيح أقل من أو يساويn/2)، وذلك لضمان أن تكون أسسxفي الحدود الناتجة غير سالبة. هذا التقييد ضروري لأن الحد العام(2x)^(n-2k)يتطلب أن يكونn-2k ≥ 0، أيk ≤ n/2.

كثيرات حدود تشيبيشيف من النوع الثاني

  • دالة الوزن:w(x) = √(1-x²)
  • الفترة:[-1,1]
  • علاقة التكرار:
    علاقة التكرار لتشيبيشيف
  • التعريف المثلثي:
    التعريف المثلثي لتشيبيشيف الثاني
  • الصيغة الصريحة:
    الصيغة الصريحة لتشيبيشيف الثاني
  • القيم الابتدائية:
    القيم الابتدائية لتشيبيشيف الثاني

جدول ملخص

كثيرة الحدودالفترةالوزن w(x)العلاقة التكرارية
ليجاندر[-1,1]1
علاقة التكرار لليجاندر
لاجوير(0,∞]e^(-x)
علاقة التكرار للاجوير
هيرميت(-∞,∞)e^(-x²)
علاقة التكرار لهيرميت
تشيبيشيف الأولى[-1,1]1/√(1-x²)
علاقة التكرار لتشيبيشيف
تشيبيشيف الثانية[-1,1]√(1-x²)
علاقة التكرار لتشيبيشيف

هذه العائلات تشكل الأساس لقواعد التكامل العددي بطريقة جاوس، حيث أن كل عائلة مناسبة لنوع معين من التكامل حسب الفترة ودالة الوزن.

مقارنة مع كثيرات حدود لاجرانج

كثيرات حدود لاجرانج ليست متعامدة، بل تُبنى لأغراض الاستيفاء:

شرط لاجرانج

وتُستخدم في التكامل الرقمي باستعمال صِيغ إسحاق، حيث العقدx_iموزعة بانتظام وثابتة، وليست مختارة بشكل أمثل.

التكامل العددي بطريقة جاوس والأوزان

لتكنP_nكثيرة حدود متعامدة من الدرجةnبالنسبة لدالة الوزنw(x)على الفترة[a,b].

الصيغة العامة لطريقة جاوس

الصيغة العامة لطريقة جاوس

حيث:

  • x_i: الجذر رقمiلكثيرة الحدود المتعامدةP_n(x)حسب نوع التكامل
  • w_i: الوزن الموافق لـx_i، ويُحسب كالتالي:
    حساب الوزن
    حيثw(x)L_i(x)هي كثيرة حدود لاجرانج الأساسية.

خطوات تطبيق طريقة جاوس

  1. 1
    اختر عدد النقاطn
  2. 2
    حدد عائلة كثيرات الحدود المتعامدة المناسبة لـw(x)
  3. 3
    احسب الجذورx_iلكثيرة الحدودP_n(x)
  4. 4
    احسب الأوزانw_iحسب العائلة
  5. 5
    احسبمجموع f(x_i)w_i

الدقة: طريقة جاوس دقيقة حتى درجة2n-1

لتكنw(x) > 0دالة وزن على الفترة[a,b].

منظور فضاء الدوال

نعتبر الفضاء المتجهيP_mلجميع كثيرات الحدود من الدرجةm ≤. مع الجداء الداخلي الموزون:

الجداء الداخلي الموزون

يصبح هذا الفضاء متجهي بعده منتهٍ.

لتكنعائلة كثيرات الحدود المتعامدةعائلة كثيرات حدود متعامدة بالنسبة لـw(x):

شرط التعامد

حيثk = درجة P_k. هذه كثيرات الحدود تشكل قاعدة لـP_m. أي كثيرة حدودp ∈ P_mيمكن كتابتها بشكل وحيد كالتالي:

تمثيل كثيرات الحدود

التحضير

في طريقة جاوس بعدد نقاطn، نختار:

  • P_k(x)= كثيرة حدود متعامدة من الدرجةn(ليجاندر، هيرميت، لاجوير، ...)
  • العقدx_1, ..., x_n= الجذورnالمختلفة لـP_k(x)
  • الأوزانw_1, ..., w_nبحيث يكون التكامل العددي دقيقاً لـP_{n-1}

نريد إثبات أنه لأيf ∈ P_{2n-1}:

صيغة جاوس

الخطوة 1: قسمة كثيرات الحدود

لتكنf ∈ P_{2n-1}. بما أنn = درجة P_n، يمكننا قسمةfعلىP_n:

قسمة كثيرات الحدود

حيث:

قيود الدرجة

الخطوة 2: التعامد يلغي الحد الأول

نكتبh(x)في أساس كثيرات الحدود المتعامدة{P_0, ..., P_{n-1}}:

تمثيل h(x)

إذاً:

مجموع صفر

بسبب التعامد، لأنn ≠ k.

إذاً:

مساواة التكاملات

معدرجة b ≤ n-1.

الخطوة 3: الدقة للباقي

طريقة جاوس مبنية لتكون دقيقة لكل كثيرات الحدود من الدرجة≤ n-1:

دقة طريقة جاوس

الخطوة 4: الخطوة الأخيرة

بما أنP_n(x_i) = 0لكل عقدةx_i:

الخطوة الرابعة

إذاً:

قاعدة جاوس

الخلاصة

قاعدة جاوس بعدد نقاطnتقوم بتكامل جميع كثيرات الحدودfمن الدرجةدرجة f ≤ 2n-1بدقة تامة. وهذه الخاصية ناتجة مباشرة عن:

  • تعامد عائلة كثيرات الحدودP_k
  • اختيار العقد كجذورP_n
  • الدقة لـP_{n-1}

ملخص

  • كثيرات الحدود المتعامدة (ليجاندر، هيرميت، لاجوير) تشكل أساساً لفضاءات كثيرات الحدود مع الجداء الداخلي الموزون.
  • طريقة جاوس تستخدم جذور هذه كثيرات الحدود لاختيار العقد المثلى.
  • تعمم طُرُق التكامل الرقمي باستعمال صِيغ إسحاق بتحسين اختيار العقد ودقة التكامل.
  • كثيرات حدود لاجرانج ليست متعامدة وتستخدم للاستيفاء وليس لدقة التكامل.
  • طريقة جاوس أكثر كفاءة: دقيقة حتى درجة2n-1باستخدامnنقطة فقط.
۞
✵
۞
◉✵◉
→السابق
✦
متعدد المُتغيرات
۩
◉✵◉
التالي←
✦
التكامل الغاوسي
۩
◉
۩