ما هي المعادلات التفاضلية؟

المعادلات التفاضلية هي معادلات تربط بين دالةٍ ومشتقاتها. أي أنها تصف كيف تتغير كمية ما بالنسبة إلى متغير آخر، مثل الزمن أو المكان. تظهر هذه المعادلات في كثير من المجالات العلمية والهندسية، مثل الفيزياء، والاقتصاد، والأحياء، والهندسة الميكانيكية.

الفكرة الجوهرية هي أن المعادلة التفاضلية لا تعطيك مباشرةً القيمة المطلوبة للدالة، وإنما تصف العلاقة بين التغيرات في تلك الدالة. وبمجرد معرفة هذه العلاقة، يمكننا محاولة إيجاد الدالة نفسها — أي الحل — الذي يحقق تلك العلاقة.

في المعادلات الجبرية التقليدية يكون المجهول عادةً عددًا مثلأو، ونحاول إيجاد قيمته التي تحقق المعادلة.

أما في المعادلات التفاضلية، فإن المجهول هو دالة كاملة وليست قيمة عددية مفردة.

فعلى سبيل المثال، في المعادلة

المطلوب هو إيجاد الدالةالتي يكون معدل تغيرها (أي مشتقتها) متناسبًا مع قيمتها نفسها.

إذن المجهول هنا هو «كيفية تغيّرمع» وليس مجرد رقم.

هذا ما يجعل المعادلات التفاضلية أكثر عمقًا وثراءً من المعادلات الجبرية.

المعادلة التفاضلية تميز بين متغيرين أساسيين: المتغير المستقل والمتغير التابع.

المتغير المستقل هو المتغير الذي نقيس بالنسبة إليه التغير (عادةً نستخدمأو الزمن). المتغير التابع هو الدالة التي تعتمد على المتغير المستقل، ونكتب ذلك عادةً على شكلأو.

مثال بسيط:

في هذه المعادلة المتغير المستقل هووالمتغير التابع هو. وإذا كان الزمن هو المتغير المستقل نستخدم النقطة للدلالة على المشتقة الزمنية:.

• الرمزيمثل المشتقة الأولى للدالةبالنسبة إلى المتغير.
• الرمزيمثل المشتقة الثانية، أي معدل تغير المشتقة نفسها.
• الرمز(نُقطة)يُستخدم أحيانًا بدلًا منعندما يكون المتغير المستقل هو الزمن.
• الرمز(مثل) يُستخدم في المعادلات التفاضلية الجزئية، حيث تعتمد الدالة على أكثر من متغير مستقل.
• الرمز (شَرطة):و. مثال سريع:

• المعادلات التفاضلية العادية:
• المعادلات التفاضلية الجزئية:

  
• المعادلات التفاضلية العشوائية:

• المعادلة:تصف النمو الأسي أو الاضمحلال.
• المعادلة:تصف حركة اهتزازية توافقية.

تُعد المعادلات التفاضلية أداةً أساسية لفهم النظم الديناميكية في الطبيعة والعلوم. فهي تربط بين التغيرات والمعدلات، وتسمح بوصف وتحليل السلوك المستقبلي للأنظمة المعقدة. كما أن فهم رموزها ومعنى المجهول فيها (كونه دالةً وليس رقمًا) هو المفتاح الأول لتعلّم هذا الباب الرياضي المهم.