الهندسة الإقليدية

✵

◉

◉

✵

إقليد الإغريقي (حوالي 300 قبل الميلاد) هو أحد أعظم علماء الرياضيات في العصور القديمة، وعُرف بلقب "أبو الهندسة". عاش في مدينة الإسكندرية خلال حكم بطليموس الأول، وأسّس مدرسة رياضية هناك. أشهر أعماله هو كتاب "العناصر"، الذي جمع فيه المعرفة الرياضية والهندسية بأسلوب منطقي ومنهجي، وظل مرجعًا أساسيًا لدراسة الهندسة لأكثر من ألفي عام.

في "العناصر"، وضع إقليدس أساسيات الهندسة بناءً على خمسة مسلمات رئيسية، منها: أن بين أي نقطتين يمكن رسم خط مستقيم، وأنه يمكن مد الخط إلى ما لا نهاية، وأن من أي مركز وأي مسافة يمكن رسم دائرة، وأن جميع الزوايا القائمة متساوية، وأخيرًا مسلمة التوازي الشهيرة التي تنص على أنه من نقطة خارج خط مستقيم لا يمكن رسم سوى خط واحد موازٍ لذلك الخط.

بدأ إقليدس بتعريفات دقيقة تعتبر من أهم ما قدمه في "العناصر". عرّف النقطة بأنها "الذي لا جزء له"، والخط بأنه "طول بلا عرض"، والسطح أو المستوى بأنه "ما له طول وعرض فقط دون سُمك". هذه التصورات المجردة شكلت حجر الأساس للهندسة الكلاسيكية.

لفهم هذه المفاهيم بطريقة معاصرة، يمكن تخيّل رسم دائرة صغيرة على ورقة. مع تصغير الدائرة شيئًا فشيئًا، تظل الدائرة تغطي مساحة من الورقة مهما صغرت، مما يقرّبنا إلى فكرة النقاط المتناهية في الصغر، وهي فكرة ستتطور لاحقًا مع علماء لاحقين في القرون الحديثة. ومع أن إقليدس لم يناقش هذا المفهوم بشكل صريح، فإن طريقته في تعريف الكائنات الهندسية بدون أبعاد مادية كانت خطوة ثورية في فهم طبيعة الفضاء والهندسة.

✵

◉

◉

✵

درس العلماء المسلمون الزوايا بشكل دقيق ضمن جهودهم لتطوير علم الفلك والرياضيات، خاصة في العصر العباسي، حيث شهدت العلوم نقلات نوعية. فقد ركز علماء مثل البتاني (توفي 317هـ/929م) في كتابه "الزيج الصابي" على إنشاء جداول دقيقة لجيب الزاوية وظل الزاوية، مما مهد الطريق لفصل علم المثلثات عن الفلك ليصبح علمًا مستقلًا. يقول البتاني في مقدمة زيجه:

كما قام أبو الوفاء البوزجاني (توفي 388هـ/998م) بإدخال تحسينات على حسابات المثلثات، فاخترع مفاهيم مثل ظل التمام، ما ساعد في حساب الزوايا بدقة غير مسبوقة.

وفي سياق دراسة الدائرة، اهتم العلماء المسلمون بمعرفة العلاقة بين محيط الدائرة وقطرها. ومن أبرز هؤلاء العلماء البيروني (توفي 440هـ/1048م)، الذي في كتابه "الآثار الباقية عن القرون الخالية" أشار إلى محاولاته الدقيقة لقياس الدائرة وحساب محيطها بالنسبة إلى قطرها. ذكر البيروني أن هذه النسبة ثابتة، بغض النظر عن حجم الدائرة، وهي المفهوم الذي نعرفه اليوم بالعدد "ط" (π). رغم أن المسلمين لم يرمزوا لهذه النسبة بحرف معين كما هو الحال مع الرمز الإغريقي π، إلا أنهم أجروا محاولات دقيقة لتقديرها.

لقد ساهم هذا الفهم المتقدم للنسبة الثابتة في تأسيس قواعد حساب المساحات والحجوم للأجسام المستديرة، وساعد في التطوير الدقيق للآلات الفلكية، مما انعكس بدوره على النهضة العلمية في العالم الإسلامي ومهّد لاحقًا لتطور العلوم في أوروبا.

✦أنواع الزوايا

تنقسم الزوايا إلى عدة أنواع حسب قياسها:

• الزاوية الحادة: قياسها أكبر من 0° وأصغر من 90°.
• الزاوية القائمة: قياسها يساوي 90°.
• الزاوية المنفرجة: قياسها أكبر من 90° وأصغر من 180°.
• الزاوية المستقيمة: قياسها يساوي 180°.
• الزاوية المنعكسة: قياسها أكبر من 180° وأصغر من 360°.
• الزاوية الكاملة: قياسها يساوي 360°.

✵

◉

◉

✵

✦التوازي والتعامد

التوازي يحدث عندما لا تلتقي مستقيمان مهما امتدا، ويكون لهما نفس الاتجاه والمسافة بينهما ثابتة. التعامد يحدث عندما يتقاطع مستقيمان بزاوية قائمة مقدارها 90°. التقاطع يشير إلى التقاء خطين أو أكثر في نقطة واحدة.

✵

◉

◉

✵

✦المثلث

المثلث شكل هندسي له ثلاثة أضلاع وثلاث زوايا. مجموع قياسات زواياه الداخلية دائماً يساوي 180°. يتم حساب محيط المثلث بجمع أطوال أضلاعه. يتم حساب مساحته باستخدام العلاقة: (طول القاعدة × الارتفاع) ÷ 2.

✵

◉

◉

✵

✦المستطيل

المستطيل شكل هندسي له أربعة أضلاع وزواياه كلها قائمة. فيه كل ضلعين متقابلين متساويين بالطول ومتوازيين. يتم حساب محيط المستطيل بجمع أطوال جميع أضلاعه أو باستخدام العلاقة: 2 × (الطول + العرض). يتم حساب المساحة باستخدام العلاقة: الطول × العرض.

✵

◉

◉

✵

✦المضلع المنتظم

المضلع المنتظم هو شكل هندسي له عدد متساوٍ من الأضلاع والزوايا. يتم حساب محيط المضلع بضرب طول الضلع الواحد في عدد الأضلاع. يتم حساب مجموع الزوايا الداخلية باستخدام العلاقة: (عدد الأضلاع - 2) × 180°. المساحة تعتمد على معرفة عدد الأضلاع وطول الضلع باستخدام صيغة خاصة لكل مضلع منتظم.

✵

◉

◉

✵

✦الدائرة

الدائرة هي شكل هندسي مغلق جميع نقاطه تبعد نفس المسافة عن المركز. يتم حساب المحيط باستخدام العلاقة: المحيط = 2 × ط × نصف القطر. يتم حساب المساحة باستخدام العلاقة: المساحة = ط × نصف القطر².

✵

◉

◉

✵

✦متوازي المستطيلات

متوازي المستطيلات هو شكل ثلاثي الأبعاد له ستة أوجه مستطيلة. يتم حساب حجمه باستخدام العلاقة: الحجم = الطول × العرض × الارتفاع. جميع الزوايا في متوازي المستطيلات زوايا قائمة.

✵

◉

◉

✵

✦الأسطوانة

الأسطوانة هي مجسم ثلاثي الأبعاد له قاعدتان دائريتان متوازيتان ومتطابقتان. يتم حساب الحجم باستخدام العلاقة: الحجم = ط × نصف القطر² × الارتفاع. المساحة الجانبية للأسطوانة تعتمد على محيط القاعدة وارتفاع الأسطوانة.

✵

◉

◉

✵

✦الهرم

الهرم هو مجسم ثلاثي الأبعاد قاعدته مضلع منتظم، وجوانبه مثلثات تلتقي في نقطة مشتركة تُسمى رأس الهرم. يتم حساب الحجم باستخدام العلاقة: الحجم = (المساحة القاعدية × الارتفاع) ÷ 3. تختلف أنواع الأهرام حسب شكل القاعدة (مثلثية، مربعة، خماسية، سداسية...).

✵

◉

◉

✵

✦الكرة

الكرة هي مجسم ثلاثي الأبعاد، جميع النقاط على سطحها تبعد نفس المسافة عن مركزها. يتم حساب حجم الكرة باستخدام العلاقة: الحجم = (4 ÷ 3) × ط × نصف القطر³. وتتميز الكرة بأنها لا تحتوي على أوجه أو حواف أو رؤوس.

✵

◉

◉

✵

✦المعلم المتعامد الممنظم

المعلم المتعامد الممنظم في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد يتكون من ثلاثة محاور متعامدة س و ص و ع، تلتقي عند نقطة الأصل (0,0,0). كل محور يمثل بعدًا مستقلاً، والمسافات على المحاور تقاس بوحدة واحدة متسقة. استخدام هذا المعلم يسهل توصيف موضع أي نقطة "ا" في الفضاء عبر إسقاطها عموديًا على المحاور.

✦الإحداثيات

تمثل الإحداثيات (س، ص، ع) موقع النقطة "ا" بالنسبة إلى المعلم. قيمة س هي الإسقاط على محور س، وص على محور ص، وع على محور ع. فعلى سبيل المثال النقطة ا(3, -2, 5) تعني أن إسقاط "ا" على محور س يبعد 3 وحدات، وعلى محور ص يبعد -2 وحدة، وعلى محور ع يبعد 5 وحدات.

✦مثال لمعلم ثنائي الأبعاد

في الفضاء ثنائي الأبعاد، يمكن استخدام معلم متعامد مكون من محورين س و ص. النقطة "ا" في هذا الفضاء يمكن تمثيلها بإحداثيات (س، ص)، حيث س هو الإسقاط على محور س وص هو الإسقاط على محور ص. مثلاً، النقطة ا(4, -3) تعني أن إسقاط "ا" على محور س يبعد 4 وحدات، وعلى محور ص يبعد -3 وحدات.

✵

◉

◉

✵

✦الجُداء المتجهي وقاعدة اليد اليمنى

يُعرف الجداء المتجهي بأنه عملية رياضية تأخذ متجهين في الفضاء ثلاثي الأبعاد وتنتج متجها ثالثاً يكون متعامداً على كِلا المتجهين. يمكن حساب الجداء المتجهي باستخدام قاعدة اليد اليمنى، حيث إذا وضعت اليد اليمنى بحيث يكون الإبهام في اتجاه المتجه الأول (ت) والأصابع في اتجاه المتجه الثاني (ج)، فإن اتجاه الجداء المتجهي (ك) يكون في اتجاه الكف المفتوح.

في نظام الإحداثيات ثلاثي الأبعاد، تُعتبر المتجهات الأساسية ت، ج، ك هي المتجهات الوحدة التي تشير إلى الاتجاهات الأساسية للمحاور: س، ص، ع على التوالي. يوضح الجداء المتجهي بين هذه المتجهات كما يلي:

• ت × ج = ك: يشير إلى أن الجداء المتجهي للمتجهين ت و ج ينتج عنه المتجه ك.
• ج × ك = ت: الجداء المتجهي للمتجهين ج و ك يعطي المتجه ت.
• ك × ت = ج: الجداء المتجهي للمتجهين ك و ت ينتج المتجه ج.
• إذا عُكست الترتيبات: ج × ت = -ك، ك × ج = -ت، ت × ك = -ج

هذه العلاقات تتبع قاعدة اليد اليمنى وتعتبر أساسية في تطبيقات الفيزياء والهندسة.

✵

◉

◉

✵

✦معادلة الخط

يمكن تمثيل معادلة الخط في الفضاء بصيغتين رئيسيتين:

1. 1
   الصيغة الشعاعية: ر = ر₀ + ط ع، حيث ر₀ متجه الموضع لنقطة ثابتة على الخط، ع متجه الاتجاه، وط ثابت متغير.
2. 2
   الصيغة الديكارتية: (س – س₀)\ا = (ص – ص₀)\ب = (ع – ع₀)\ج، حيث (س₀،ص₀،ع₀) نقطة على الخط، و(ا،ب،ج) مكونات متجه الاتجاه.

✵

◉

◉

✵

✦المستوى

معادلة المستوى في الفضاء ثلاثي الأبعاد تعطى بالصيغة: ا س + ب ص + ج ع + د = ٠، حيث (ا،ب،ج) هو متجه العمود أو المتعامد للمستوى، ود ثابت يحدد بُعد المستوى عن نقطة الأصل. تتحقق هذه المعادلة لكل النقاط (س،ص،ع) التي تقع على ذلك المستوى.

✵

◉

◉

✵

✦الكرة

معادلة الكرة ذات المركز (س₀،ص₀،ع₀) ونصف القطر ن تُعبر عنها بالعلاقة: (س – سم)² + (ص – صم)² + (ع – عم)² = نق². أي أن جميع النقاط التي تبعد مسافة ن عن المركز تحقق هذه المعادلة.

• نقطة على سطح الكرة: (س – سم)² + (ص – صم)² + (ع – عم)² = نق²
• نقطة داخل الكرة: (س – سم)² + (ص – صم)² + (ع – عم)² < نق²
• نقطة خارج الكرة: (س – سم)² + (ص – صم)² + (ع – عم)² > نق²

✵

◉

◉

✵