كتاب الجبر والمُقابلة
إسهامات الخوارزمي في تأسيس علم الجبر
الفقه والحساب
في عصور ازدهار الفقه والعلم، تعددت الرؤى وتباينت المواقف تجاه علم الجبر. فقد رآه بعض العلماء علمًا لا يدخل في دائرة الواجب، ولا ينال صاحبه عليه أجرًا، ولا يُؤثَم تاركه، إذ لم يجدوا فيه من الفقه ما يستحق العناية.
غير أنّ آخرين قد أبصروا فيه ما هو أبعد من الأرقام والمعادلات، فرأوا فيه أداة من أدوات إقامة العدل، ومفتاحًا لفهم بعض دقائق الشريعة. ومن هؤلاء الإمام أبو العبّاس أحمد بن أبي أحمد الطبري المعروف بابن القاص المُتوفّى 330هـ، الذي أفرد في كتابه أدب القاضي بابًا كاملًا للحديث عن علم الحساب والجبر، معتبرًا إياه علمًا لازمًا للقاضي العادل، يعينه على الفصل بين الناس بالقسط، ويقيم به أركان الحكم الرشيد.
وهكذا، لم يكن الجبر عند هؤلاء علمًا رياضيًا مجردًا، بل لبنة من لبنات التشريع، ومنه جزءًا مهمّا من الهُوية العَقدية المُسلمة. وفي ذلك يُضرَب المثَل في فروع متعددة من العلوم الأخرى.
الجبر والمقابلة
و لعل أشهر هذه الكتب، كتاب الجبر والمقابلة الذي كتبه الإمام محمد بن موسى الخوارزمي والذي أبقى الله علمه خالدا عبر الزمن إلى يومنا هذا. فالخوارزمي، رحمه الله وتقبل صالح أعماه وجزاه عنا خير الجزاء، ساهم في تأسيس علم الجبر الذي له كفل في تسميته. و لعل الخوارزميات كما نعرفها اليوم والتي هي سلسلة من الخطوات المُنفّدة للوصول إلى نتيجة ما مُقتبسة من طريقة هذا العالم الكبير في حل مسائل حسابية متنوعة باتباع خطوات منطقية متسلسلة كما سنرى في ما بعد أسفله. ومن مساهماته أيضا دراسة العدد الأصم وهو العدد الذي لا جذر له و الذي يمهّد لتأسيس مجال الحسابات بالأعداد العقدية أو التخيلية. الخوارزمي أبدع في مجال الرياضيات بشكل مدهل وكان عالما بموضوع الحساب مما أثار اهتمام الحكام آنذاك ومنهم الخليفة العبّاسي المأمون (198هـ - 218هـ) الذي طلب من الخوارزمي الكتابة في موضوع الحساب ما قد ينفع الناس وينفع الدولة الحاكمة أيضا.
الجبر الناطق
والجدير بالذكر أنه في زمن الخوارزمي وأمثاله، لم تكن الرموز الجبرية قد تطورت بعد، بل كان التعبير عن العمليات الحسابية يتم بواسطة اللغة فقط، فيما يُعرف بــ“الجبر الناطق”. فعلى سبيل المثال، كان يُقال: “عشرة قسّمتها قسمين فضربت أحد القِسمَين في الآخر ثم ضربت أحدهما في نفسه فصار المضروب في نفسه مثل أحد القِسمين في الآخر أربع مرّات فقِياسه تجعل أحد القسمين شيئا والآخر عشرة إلا شيئا فتضرب الشيء في عشرة الأشياء فتكون الأشياء...” وهذه المعادلات بسيطة طولُها أقلّ من سطر مثلا:
5² = 5 × 10/2
وهكذا كان الوصف اللفظي يحل محل الرموز. ومع تطور الأفكار وازدياد تعقيد المسائل، أصبحت النصوص أطول وأكثر تركيبًا، مما دعا الخوارزمي إلى تنظيم هذا الأسلوب ضمن قواعد علمية منهجية، كانت الأساس الذي قامت عليه لاحقًا الرياضيات الرمزي.
الغرض من تأليف الكتاب: ما يحتاج إليه الناس في الحساب
بيّن الخوارزمي في مقدمته أن الغرض من كتابه هو خدمة الناس والدولة، بتسهيل العمليات الحسابية التي يحتاجون إليها في معاملاتهم اليومية، من مقايضات ومواريث وأمور تجارية. وقد أوضح أن كل الأعداد، صغيرها وكبيرها، تتكون من تكرار الواحد. فالعدد اثنان هو اثنان من الواحد، والعشرة هي عشرة من الواحد، وهكذا صعودًا إلى المئة والألف وما بعدهما. وقد أسّس هذا الفهم البسيط للعدد قاعدة عامة اعتمد عليها في تحليل المعادلات الجبرية وصياغتها.
مبادئ الجبر والمقابلة عند الخوارزمي
شرح الخوارزمي كيفية التعامل مع المعادلات بطريقة منهجية تقوم على عمليتين رئيستين: الجبر، أي إزالة الحدود السالبة بنقلها إلى الطرف الآخر؛ والمقابلة، أي تجميع الحدود المتشابهة في كل طرف وموازنتها. “الجبر” يعني نقل الحدود السالبة إلى الطرف الآخر مع تغيير إشارتها، بينما تعني “المقابلة” موازنة الحدود المتماثلة في طرفي المعادل. فعلى سبيل المثال، لحل المعادلة:
3 + س² = 7 - 4س
7 + 3 + س² = 7 + 7 - 4س
10 + س² = 4س
10 = س² - 4س
10 = س²
5 = س
المفاهيم الأساسية في الجبر
الجذور
الجذر هو كل مقدار مجهول يُرمز له غالبًا بالرمز س، يمثل كمية أو قيمة غير معروفة يراد إيجادها، وهو عنصر أساسي في بناء المعادلة الجبرية.
الأموال
الأموال هي الجذر مضروبًا في نفسه، أي القوة التربيعية للجذر. يعبر عنها بالصيغة س²، وهي تدل على المال أو الشيء الذي تضاعف حجمه بمقدار نفسه.
الأعداد
الأعداد هي المقادير الثابتة، التي لا تتعلق بجذور أو أموال، وتمثل القيم العددية الصريحة التي تكون جزءًا من المعادلة.
أصناف المعادلات الجبرية عند الخوارزمي
المعادلات الثنائية الحدود
صنف الخوارزمي المعادلات التي تحتوي على حدين اثنين إلى ثلاثة أنواع رئيسية:
- أموال تعدل جذورًا: س² = ب س
- أموال تعدل عددًا: أ س² = ج
- جذور تعدل عددًا: ب س = ج
وقد كان لهذا التصنيف أهمية كبيرة في تيسير طرق الحل وإعطاء أمثلة عملية متعددة لكل نوع.
المعادلات الثلاثية الحدود
صنف الخوارزمي أيضا المعادلات التي تحتوي على ثلاث حدود إلى ثلاثة أنواع رئيسية:
- أموال وجذور تعدل عددًا: أ س² + ب س = ج
- أموال وعدد تعدل جذورًا: أ س² + ج = ب س
- جذور وعدد تعدل أموالًا: ب س + ج = أ س²
وقد كان لهذا التصنيف أهمية كبيرة في تيسير طرق الحل وإعطاء أمثلة عملية متعددة لكل نوع.
مثال على حل معادلة تربيعية بطريقة إكمال المربع
المعادلة:
2س² + 20س = 78
خطوات الحل:
- 1تكملة الأموال:
(1/2)2س² + (1/2)20س = (1/2)78 ⟸ س² + 10س = 39
- 2تنصيف الجذور:
10/2 = 5
- 3ضربها في مثلها:
5 × 5 = 25
- 4إضافة العدد للمجموع:
39 + 25 = 64
- 5تجذير الناتج:
√64 = 8 × 8
- 6طرح نصف جذر العبارة منه:
8 - 5 = 3
وبذلك يكون الحل النهائي.
هذه هي الطريقة المعروف حلّها حاليا بطريقة جذور المعادلة التربيعية والتي نحسب لها حلّين هُما
وهذه الخطوات لها تدبّر هندسي جميل يمكن التمعّن فيه في الصورة المتحركة أسفله
