محدد المصفوفات
المحدد هو قيمة عددية ترتبط بمصفوفة مربعة، ويُستخدم في العديد من التطبيقات الرياضية، بما في ذلك حل أنظمة المعادلات الخطية وحساب المساحات والأحجام. يعبر المحدد عن مدى تشويه المصفوفة للفضاء الذي تعمل عليه. كلّما كان المحدد كبيرا كلّما كانت المصفوفة أكثر تشويهاً للفضاء.
حساب المحدد
لحساب محدد مصفوفة ثنائية البعد، نضرب عناصر القطر الرئيسي ثم نطرح حاصل ضرب عناصر القطر الآخر.
بالنسبة لمصفوفات ذات بُعد أكبر من اثنين، طريقة حساب المحدد تصبح أكثر تعقيدًا قليلًا.
نأخد كمثال المصفوفة الثلاثية، والتي نعبر عنها وعن مُحدّدها عموما كالتالي
المحدد الفرعي
المحدد الفرعي هو محدد نحصل عليه من مصفوفة أكبر بحذف صف وعمود معينين منها، ويُستخدم لحساب محدد المصفوفات ذات الأبعاد الأكبر بطريقة التوسع عبر صف أو عمود.
المصفوفة المساعدة
المصفوفة المساعدة هي ببساطة مصفوفة يكون كل عنصر فيها هو قيمة المحدد الفرعي عند موضع ذلك العنصر مضروبًا في إشارة (+ أو -) وفق نمط رقعة الشطرنج للمصفوفة المعنية.
يتم بناء مصفوفة الإشارات (رقعة الشطرنج) بحيث يكون العنصر في الصف الأول والعمود الأول موجبًا (+)، ثم تتناوب الإشارات بين موجب وسالب في كل صف وعمود. أي أن كل عنصر يُحسب إشارتُه حسب القاعدة: إذا كان مجموع رقم الصف ورقم العمود زوجيًا، تكون الإشارة موجبة، وإذا كان فرديًا، تكون سالبة.
لحساب المحدد النهائي، يمكننا اختيار أي صف أو عمود، ثم نجمع حاصل ضرب عناصره في المصفوفة المساعدة مع مراعاة الإشارات، كما هو موضح في الأمثلة السابقة.
أمثلة أخرى
المصفوفة الثنائية
يجدر بالذكر أن حساب محدد المصفوفة الثنائية الموضح في أعلى الصفحة يعتمد أيضًا على نفس فكرة رقعة الشطرنج والمصفوفة المساعدة، حيث يكون المحدد الفرعي في هذه الحالة هو عنصر المصفوفة نفسه.
المصفوفة الرباعية
وبالمثل يمكن حساب محدد أي مصفوفة مربّعة مهما كان بُعدها بالطريقة المعروضة أعلاه. كما هو موضّح في المثال التلي بالنسبة للمصفوفة الرباعية
بعض خصائص المحدد
ما معنى المحدد؟
يُبيّن المحدد قدرة المصفوفة على تشويه الفضاء ضمن إطار التحويل الخطي.
فعلى سبيل المثال، المصفوفة التالية مُحددها سالب
على الرغم من أن جميع عناصرها موجبة، ذلك لأنّ التحويل الفضائي الناتج عنها هو عكسي.
المصفوفة الشادّة
المصفوفة الشادّة هي مصفوفة مربعة حيث يكون محددها مساوياً للصفر. هذا يعني أن التحويل الخطي الناتج عن هذه المصفوفة لا يغيّر حجم الفضاء، بل يضغطه إلى نقطة أو خط أو مستوى.
