عكس المصفوفات

المصفوفة العكسية هي مصفوفة مربعة، إذا ضربت في المصفوفة الأصلية، تعطي مصفوفة الوحدة. تُستخدم في حل أنظمة المعادلات الخطية.

هي أيضا المصفوفة التي تعيد الفضاء إلى صيغته الطبيعية وتُلغي التحويلة الخطية المنطبقة على هذا الأخير.

✦بعض خصائص العكس

✦حساب عكس المصفوفة

لحساب معكوس المصفوفة المربعة، يجب أولاً التحقق من أن محددها غير منعدم، أي أنه لا يساوي صفرًا. إذا تحقق هذا الشرط، فإن المصفوفة تكون قابلة للعكس. يتم حساب المعكوس باستخدام المصفوفة المساعدة، وهي ناتج تحويل مصفوفة المرافِقات. لحساب كل مرافق، يُحسب المحدد الفرعي الناتج عن حذف الصف والعمود الموافقين لذلك العنصر، ويُضرب بعامل الإشارة الذي يتبع نمط لوحة الشطرنج المكون من إشارات موجبة وسالبة بالتناوب. بعد تكوين مصفوفة المرافِقات، يُؤخذ تحويلها لتكوين المصفوفة المساعدة، ثم يُحسب معكوس المصفوفة بقسمة هذه المصفوفة المساعدة على قيمة المحدد.

في هذا التمرين، سنستخدم عكس المصفوفة لإيجاد إحداثيات مركز الكرة ونصف قطرها. سننطلق من معادلة الكرة العامة، ونفترض أن لدينا عدة نقاط معلومة تقع على سطح الكرة. سنكوّن نظام معادلات خطية اعتمادًا على هذه النقاط، ثم نستخدم عكس المصفوفة لحل هذا النظام واستخراج مركز الكرة ونصف القطر بدقة رياضية.

المعادلة العامة للكرة في الفضاء ثلاثي الأبعاد هي:

ننشر العبارة لنحصل على المعادلة التالية:

نعوض عن النقاط المعروفة في المعادلة، لنحصل على نظام المعادلات التالي:

نقوم بتعريف المتغير التالي:

وبذلك نحصل على نظام المعادلات التالي:

نقوم بترتيب المعادلة على شكل المصفوفة التالية:

نقوم بحساب عكس المصفوفة، ثم نضربها في المتجه الناتج عن المعادلات السابقة لنحصل على:

المصفوفة المتعامدة هي مصفوفة مربعة حيث تكون أعمدتها متعامدة على بعضها البعض، مما يعني أن حاصل ضرب أي عمود في عمود آخر يعطي صفرًا. إذا كانت المصفوفة متعامدة، فإن معكوسها يساوي منقولتها، أي أن:

✦مثال 1

✦مثال 2