التحويلات الفضائية

في هذه الفقرة، نتأمل في تأثير المصفوفات على المتجهات المُكوّنة للفضاءات ومنه تأثير المصفوفات،وخصوصا المصفوفات المربّعة، على الفضاء نفسه. هذه مفاهيم مهمة في إطار فهم معنى محدادت المصفوفات، عكسهن و قيمهنّ الذاتية فيما بعد.

المصفوفات المربّعة هي التي عدد صفوفها يساوي عدد أعمدتها. هذه المصفوفات يمكن أن تُطبّق على المتجهات في الفضاء، مما يؤدي إلى تحويل المتجهات بطريقة معينة. هذا التحويل يمكن أن يكون بسيطًا مثل تغيير الاتجاه أو الطول، أو أكثر تعقيدًا مثل التدوير أو الانعكاس.

نبدأ بالمصفوفة المربّعة الوحدة والتي نعلم أنها لا تغيّر من المتجه شيئا ثم نضاعف عنصرها الأول مرّتين، فننظر تأثيرها على النفس المتجه. نلاحظ في الرسم المتحرك تضاعف فقط الإحداثية السينية للمتجه.

✵

◉

◉

✵

✵

◉

◉

✵

هذا يحصل لجميع المتجهات المُكوّنة للفضاء ومن بينها المتجهات الوحدة المُكوّنة لقاعدة الفضاء والتي مداها يصل إلى جميع متجهات الفضاء.

✵

◉

◉

✵

يمكن إستنتاج إذن أن الفضاء كلّه يتحوّل تحت تأثير المصفوفةعليه. يمكن عرض هذا التحول على شكل رسم متحرك يساعد على إستوعاب هذا المفهوم المُجرد ويُبين التغيير الطارئ على الفضاء بأكماه كما في الرسم المتحرك أسفله.

في هذه الفقرة، نستعرض بعض التحويلات الأخرى التي يمكن أن تحدث في الفضاء. هذه التحويلات تشمل التدوير، الانعكاس، والتمديد، وكلها تؤثر على المتجهات بطريقة مختلفة.

تقلّص صادي:

مصفوفة اعتباطية:

قلب الفضاء حول المحور السيني:

مصفوفة القص:

مصفوفة ثلاثية الأبعاد:

هذه التحويلات هي خطية وتبقينا في نطاق الجبر الخطي، التحويلات غير الخطية تُحول الفضاء بشكل يصعب أكثر تصويره ومنه الإشتغال عليه أو به كما في الصور أسفله.