تصنيف المعادلات التفاضلية ومفاهيم ومصطلحات أساسية

تُعد دراسة المعادلات التفاضلية من أهم المواضيع في الرياضيات التطبيقية، إذ تصف الظواهر الطبيعية والهندسية والفيزيائية. قبل الخوض في طرق الحل، من الضروري فهم المفاهيم الأساسية والتصنيفات المختلفة التي تساعد على تحديد نوع المعادلة والطريقة المناسبة للتعامل معها.

✦أولاً: المتغيرات

• المتغير المستقل: هو المتغير الذي نشتق بالنسبة إليه، وغالبًا ما يُرمز له بـأو(كالزمن أو المكان).
• المتغير التابع: هو الدالة المجهولةالتي نبحث عنها، والتي تعتمد على المتغير المستقل.

✦ثانياً: رتبة المعادلة

رتبة المعادلة التفاضلية هي أعلى رتبة مشتقة تظهر في المعادلة. مثلاً:

هي معادلة من الرتبة الثانية لأن أعلى مشتقة هي الثانية.

✦ثالثاً: درجة المعادلة

درجة المعادلة التفاضلية هي الأس الذي تُرفع إليه أعلى مشتقة، بشرط أن تكون المعادلة متعددة حدود في المشتقات. مثلاً:

هي من الرتبة الثانية والدرجة الثالثة.

◆ملاحظة:

إذا احتوت المعادلة على دوال مثلثية أو أسية أو لوغاريتمية للمشتقات (مثلأو)، فإنها تكون غير خطية، ولا تُعرَّف الدرجة في هذه الحالة.

✦رابعاً: المعادلات التفاضلية العادية والجزئية

• المعادلة التفاضلية العادية: تحتوي على مشتقات بالنسبة إلى متغير مستقل واحد فقط.

  
• المعادلة التفاضلية الجزئية: تحتوي على مشتقات جزئية بالنسبة إلى أكثر من متغير مستقل.

  

✦رابعاً ونصف: المعادلات الذاتية وغير الذاتية

المعادلة الذاتية: هي المعادلة التي لا تعتمد بشكل صريح على المتغير المستقل. أي أن معدل التغير يعتمد فقط على قيمة المتغير التابع نفسه.

المعادلة غير الذاتية: هي المعادلة التي تعتمد بشكل صريح على المتغير المستقل بالإضافة إلى المتغير التابع. أي أن معدل التغير يعتمد على كل من المتغير المستقل والمتغير التابع.

✦خامساً: المعادلات الخطية وغير الخطية

• المعادلة الخطية: يظهر فيها المتغير التابع ومشتقاته مرفوعة للأس 1 فقط، ولا تُضرب ببعضها ولا تظهر داخل دوال غير خطية.

  
• المعادلة غير الخطية: تحتوي على مشتقات مرفوعة لقوى أعلى من 1 أو مضروبة ببعضها، أو داخل دوال مثلثية أو أسية أو لوغاريتمية.

  

✦سادساً: المعادلات المتجانسة وغير المتجانسة

• المعادلة المتجانسة: إذا كان الطرف الأيمن يساوي صفرًا (أي لا تحتوي على دالة مستقلة).

  
• المعادلة غير المتجانسة: إذا احتوت على دالة مستقلة في أحد الطرفين.

  

✦سابعاً: شروط البداية وشروط الحدود

• مسألة القيم الابتدائية: تُعطى فيها قيمة المتغير التابع ومشتقاته عند نقطة واحدة.

  
• مسألة القيم الحدّية: تُعطى فيها قيم المتغير التابع عند أكثر من نقطة على حدود المجال.

  

✦ثامناً: المعادلات المتصلة والمنفصلة (المستمرة والمنفصلة)

• المعادلات التفاضلية المستمرة:تصف تغير الدوال المستمرة بالنسبة إلى متغير مستمر مثل الزمن أو المكان، وتُستخدم فيها المشتقات.

  
• المعادلات التفاضلية المنفصلة أو الفروقية:تصف تغير المتغيرات عند نقاط منفصلة، وتُستخدم فيها الفروقات بدلاً من المشتقات.

  

  تُعتبر هذه النوعية أساس النمذجة الرقمية والتطبيقات الحاسوبية لحل المعادلات التفاضلية المستمرة تقريبًا.

✦خلاصة

• التصنيف يُساعد على اختيار طريقة الحل المناسبة لكل نوع من المعادلات.
• أكثر الأنواع شيوعًا في التطبيقات العملية هي المعادلات الخطية من الرتبة الأولى أو الثانية.
• بعض المعادلات قد تنتمي إلى أكثر من فئة في الوقت نفسه (مثلاً: معادلة تفاضلية عادية، غير خطية، من الرتبة الثانية).
• المعادلات المنفصلة تُعد نظيرًا رقميًا للمعادلات التفاضلية المستمرة وتُستخدم في النمذجة العددية.