السطح العُقدي

✦مقدمة

العدد العقدي هو عدد من الشكل ع = س + ص ت، حيث س وص أعداد حقيقية، وت هو الوحدة التخيلية حيث ت² = -1.

يمثل الجزء الحقيقي س بينما يمثل الجزء التخيلي ص.

✦تمثيل هندسي

يمكن تمثيل العدد العقدي على المستوى العقدي كنقطة أو متجه.

المستوى العقدي هو نظام إحداثي حيث يُمثل الجزء الحقيقي على المحور الأفقي (المحور الحقيقي) والجزء التخيلي على المحور العمودي (المحور التخيلي).

يمكن للعدد العقدي ع = س + ص ت أن يُمثل بالنقطة (س, ص) على هذا المستوى.

✵

◉

◉

✵

تُعبر الصيغة عن العلاقة بين الدوال الأسية والمُثلثية.

تُستخدم هذه الصيغة لتمثيل العدد العقدي بالشكل القطبي، حيث ق هو المقياس وي هي الزاوية.

✵

◉

◉

✵

✦اتجاه الدوران (عكس عقارب الساعة)

تُستخدم قاعدة اليد اليمنى لتحديد اتجاه الدوران في المستوى العقدي. إذا كان الإبهام يشير إلى الأعلى (المحور التخيلي)، فإن الأصابع تشير إلى الاتجاه الموجب للدوران (عكس عقارب الساعة).

يُعبر هذا الدوران عن الزاوية الإيجابية في التمثيل القطبي للأعداد العقدية.

✦التدوير كعملية ضرب

يمكن تمثيل الدوران في المستوى العقدي باستخدام عملية ضرب الأعداد العقدية. إذا كان لدينا نقطة في المستوى العقدي ممثلة بالعدد ع = س + ص ت، فإن تدوير هذه النقطة بزاوية ي حول الأصل يمكن تمثيله بضرب العدد العقدي بالعدد الأسّي.

الصيغة العامة للتدوير هي:

حيث ع' هو العدد العقدي بعد التدوير.

عند فك الضرب، نحصل على:

هذا يعبر عن معادلات الدوران الشهيرة في المستوى الديكارتي:

وفي صيغتها المتجهية:

لذا، يمكن اعتبار ضرب العدد العقدي بوحدة الأسّ المركبة كعملية تدوير حول الأصل بزاوية ي في اتجاه الدوران لعقارب الساعة.

✵

◉

◉

✵

✦في الفيزياء والهندسة

تُستخدم الأعداد العقدية في معالجة الإشارات، والتحليل الكهربائي، والمعادلات التفاضلية. كما تلعب دوراً رئيسياً في ميكانيكا الكم وعلوم الموجات.

تساعد الصيغ القطبية والأسية في تبسيط العمليات الحسابية وتحليل الأنظمة الديناميكية.